Виктор Буторов: инстинкт понимания
Это не школа. Это образование
Движущиеся тело и движение удовлетворительно не различимы.
Оккам

Как решать задачи?

/ Просмотров: 2227
Как решать задачи?

Хороший вопрос, верно?

Очень хочется знать ответ … Должна же быть какая-то тайна, недостающее звено, утерянное школьным образованием, из-за отсутствия которого распадается на куски полотно понимания! И не только математики, но и понимания вообще. И главная болезнь школьного образования - «наличие этого отсутствия».

... В статье я покажу на простом примере :

  • чему можно научиться, решая простейшие задачи;
  • как работает ум при решении задач и
  • почему решать задачи действительно трудно.
  • А также, почему школа решать задачи не учит.
  • Совсем.

    Да, метод решения задач существует. Но в школе он

    не применяется. Фактически он под запретом. Большинство школьников потеряли способность разбираться с решением задач настолько, что не улавливают правильное направление, даже когда его показываешь.

    Как я решаю школьные задачи (пример)

    И как я решал их, когда был школьником. Это было давно, но я все помню … Видимо, потому, что учился решать задачи, а не запоминать «типовые решения определенного класса задач».

    Вот задача:

    «Одну сторону прямоугольника увеличили на 25%. Как нужно изменить другую сторону, чтобы площадь осталась прежней?»


    Откуда эта задача я забыл. grin Но помню, что сын, решая ее в третьем классе, неожиданно «притормозил».


    ... Чтобы уловить причину затруднения при решении такой простой задачи нужно уметь решать самому, а не просто «знать ход решения». Это намек на учителей. Большинство из них не понимают, где здесь можно запутаться и сразу начинают орать: «Такие задачи мы уже решали» и «Ты должен знать» и прочую хрень. Потому, что никогда в своей жизни задач по математике не решали. Только «проходили решение задач этого типа».

    Поскольку я не учитель, то увидеть «ровное место», на котором споткнулся сын, мне было нетрудно.

    Вот реконструкция мыслей думающего человека при решении подобных задач.

    Почему сложно решать текстовые задачи

    «Если бы мне дали час на решение задачи, то 55 минут я думал бы над условием, а 5 над решением»
    А.Эйнштейн

    «Понять условие – значит решить задачу». Известная мудрость.

    Где в условии задачи подвох?

    «У прямоугольника 2 стороны: большая и меньшая. Площадь прямоугольника равна произведению ... и т.п.». Так "решают" задачи учителя.

    Но третьекласснику показалось, что сторон у четырехугольника больше двух. Аж четыре!..cheese Поэтому представив условие он "притормозил": "Какую именно другую сторону следует уменьшить?.."

    Взрослому трудно понять такого рода трудности. Большинство «знает», что у прямоугольника две стороны: А и В. Поэтому большинство взрослых не способно к творчеству.

    И большинство взрослых не умеют учить.

    А дети пока умеют: и учиться и творить…

    Решение задачи школьным методом

    Решение несложное. Нужно знать, как вычислить площадь прямоугольника.

    А х В = S.

    Если один из сомножителей умножить на 1,25 (то есть увеличить на 25%), то для сохранения произведения нужно другой сомножитель разделить на 1,25.

    (А х 1,25) х (В : 1,25) = S

    Несложно.

    Хотя я рекомендовал бы расписать все на бумажке.

    Зачем? Давайте смотреть дальше…

    Обязательно ли четырехугольник после увеличения «одной из сторон» останется прямоугольным?

    И если нет, то:

  • окажется ли площадь произвольного четырехугольника равна площади исходного прямоугольника?
  • «Узри, чтобы понять!»,

    - воскликнул арабский, кажется, математик, обнаружив еще одно доказательство теоремы Пифагора. Не "Посчитай" ...

    Я простой смертный и могу ошибаться.smile Мое отличие от большинства других смертных в том, что зная это, я не полагаюсь на «абстрактный» ум, забитый «типовыми решениями».

    ... Давайте изобразим частный случай трансформации прямоугольника после увеличения «одной из сторон» на 25%.

    Менее очевидное, но не менее шаблонное решение

    Пользователь оставил комментарий к моему видео «Как понимать математику (абстрактное и конкретное мышление)».

    «Задача, как ее понял ваш сын, также решается просто: другую сторону прямоугольника нужно уменьшить на 25%».

    Я ответил:

    «Неверно. Площадь произвольного четырехугольника не будет равна площади исходного прямоугольника. И видео это не о том, как считать, а о том, как понять, что именно нужно считать».

    Честно говоря, я попался ….

    … Но знание того, что люди склонны ошибаться, а я - человек, помогает выбираться из ловушек очевидности. Даже если в них попадаешься …

    Может ли быть более одного правильного решения задачи?

    Почувствовав неладное, я нарисовал картинку:

    Менее очевидное решение задачи о прямоугольнике

    И … понял, что комментатор прав.

    Можно алгебраически показать, что площади двух заштрихованных треугольников равны. Следовательно, площадь получившегося четырехугольника также равна площади исходного прямоугольника …

    Здесь "Правое" встречается с "Левым". (Декарт, кажется, впервые ввел в алгебру геометрию, придумав систему координат.)

    Эта задачка - пример, в котором весьма затруднительно доказать равенство чисто геометрически. Алгебраически же ... А что именно тогда считать, не изобразив условие?..)

    Чувство правильного решения

    Некоторое чувство, инстинкт понимания, которые развиваются в процессе решения задач, шептали мне: что-то здесь не сходится ...

    ... Наш мозг так устроен, что экономит энергию буквально на всем. А очевидное - это привычное, шаблонное, легкое. Поэтому мозг всегда толкает нас в сторону известного и привычного ...

    Комментатор (нужно отдать ему должное) внимательно смотрел видео и решил задачу менее стандартно. Но … действовал по той же схеме «энергосбережения».

    Шаблоны бывают разного уровня, но шаблон есть шаблон. Всегда найдется задача, на которой он не сработает и привычное решение окажется неверным …

    (На это, замечу и рассчитана ловушка ЕГЭ: учить запоминать, а потом давать задачи на понимание).

    Еще менее очевидное решение задачи …

    «У прямоугольника 4 стороны. И если одну из них увеличили на 25%, то почему он взял именно эту, «удобную» сторону?»,- подумал я. Как, видимо, подумал и мой сын, который не смог оформить эту мысль, поэтому просто «притормозил».

    Почему не взять другую сторону b? Ту, что изменилась при увеличении стороны a? Ведь говорится просто о "другой" стороне?

    Да потому, что ум нашептывает: этот вариант посчитать будет труднее!

    В предыдущих двух примерах решение получалось:

  • В первом случае, по формуле площади прямоугольника мы просто умножали и делили.
  • Во втором случае, чтобы узнать что на что умножать, нам пришлось изобразить задачу, а потом, посчитав площади двух заштрихованных треугольников, увидеть, что они равны.

  • В третьем же случае …

    … Изобразим условие задачи и узрим ответ.

    Нетривиальное решение задачи о прямоугольнике

    Что получится, если после увеличения на 25% стороны a уменьшить на 25% сторону b, а не удобную для решения сторону d? Что будет, если мы уменьшим на 25% сторону, только что ставшую функцией изменения другой стороны?

    … Сравнить площади возникшего неправильного и исходного правильного четырехугольников с использованием только Пифагоровой теоремы не получится.

    И совсем не очевидно, что

  • площади получившегося четырехугольника и
  • исходного прямоугольника
  • равны …

    А что есть математика, если не приведение условия задачи к очевидному (аксиоматическому) виду?
    В науке утверждение считается верным после того, как оно будет доказано через:

  • аксиомы, очевидности, которые условились считать таковыми;
  • логику, опять же, основанную на аксиомах.

  • Если бы мы не изобразили задачу, не поигрались с рисунком, то не подобрались бы к более глубокому пониманию ... Не решили бы задачу.

    И вот правильное направление в обучении.

  • Чтобы научиться решать задачи, нужно выработать привычку всматриваться в условие. Так можно научиться думать и перестать бояться экзаменов.
  • Равно, как и школьных учителей, абсолютное большинство которых думать и решать задачи не умеет. И не может этому научить.


    …Откуда возникает чувство, которое подсказывает: что-то здесь не складывается … Давай взглянем еще раз…

    Решение задач, имеющих практический смысл (источник понимания)

    Поскольку мне пришлось довольно плотно заниматься финансовыми инструментами, то я вынужден был научиться чувствовать некоторые фокусы, связанные с процентами. От этого зависело выживание моего депозита.

    Просто взглянув на задачу о прямоугольнике, можно почувствовать: что-то здесь не так.

    Попробуйте доказать (или опровергнуть) утверждение:

    при уменьшении на 25% любой другой стороны получившегося неправильного четырехугольника его площадь окажется равной исходному прямоугольнику.


    И если вы это сделаете, то поймете:

  • почему можно "притормозить", размышляя над этой задачей.
  • Что эту задачу невозможно решить на уровне 3, 4, 5 классов.
  • Что ответ "Верно" или "Нет" зависит от выбранной модели решения. (И здесь их минимум три).

  • И еще вы заметите, что на "простой" задаче можно научить ребенка думать и решать очень широкий класс задач ... Если учить именно решать и думать, а не умножать "ширину на высоту".


    Да, иногда чувства обманывают.

    Но иногда они же подсказывают направление, в котором есть смысл двигаться и, возможно, что-то найти. В этом мире нет точных шаблонов на все случаи, но есть направления, двигаясь по которым чаще находишь что-то полезное. И становишься умнее, способнее, успешнее. Иногда даже счастливее ... wink


    На закуску еще одна

    действительно простая задачка.

    Решите ее быстро, как это требуют в школе. smile

    Величину А увеличили на 100%. На сколько процентов нужно уменьшить результат, чтобы вернуться в «исходное состояние»?

    По опыту: менее одного человека из ста правильно решают подобные задачи. А ведь стоит нарисовать это, как получить неправильный ответ становится сложно!

    Вот и думайте:

  • разрешать ли ребенку пользоваться счетными палочками, пальцами, счетами,
  • провоцировать изображать условие задачи на бумаге или
  • слушать школьных авторитетов, авторов современной школьной методики обучения, которые в решении задач не понимают ни хрена …

  • P.S.

    Меня уже успели спросить: а при чем тут проценты и эта задача?

    Это третья модель решения grin

    По условию одну сторону (допустим ширину) увеличили на четверть. Получился прямоугольник, площадь которого увеличилась на четверть.

    На сколько нужно изменить "другую сторону" ...

    Ваше решение?

    Запись только для зарегистрированных

    Комментариев: 2 RSS

    Здравствуйте. Не поняла ваше решение задачи. Если одна сторона прямоугольника(все углы 90 градусов) увеличивается на 25%, то соответственно увеличивается и параллельная ей сторона , чтобы сохранить формулу площади и прямые углы. тогда ни при каких обстоятельствах другую сторону нельзя уменьшить ровно на 25%.

    Инна, в условии ничего не сказано о том, что данный в условии четырехугольник должен остаться прямоугольником ... Опять возвращаемся к сути текстовых задач, к точному пониманию условий.

    Конечно, меня можно поправить: это, мол, задача не текстовая, а геометрическая. Но откуда тогда взялись слова? smile

    Эта задача простейшая, для 3 класса. Но именно на таких задачах и нужно учить детей понимать основы, суть математики. Да и как мы видим из статьи, из комментариев на ютубе и, вот теперь - из Вашего комментария - простота бывает кажущейся ...

    Здорово, Инна, что Вы не просто "читаете", а осмысливаете.

    Если Вам понравилось - напишите, что Вы думаете об этом ...

    Вы можете войти под своим логином или зарегистрироваться на сайте.