Виктор Буторов: инстинкт понимания
Это не школа. Это образование
Плакать готова как раз оттого, что не над чем плакать.
Овидий

Как решать задачи по математике?

/ Просмотров: 1991
Как решать задачи по математике?

Как научить ребенка решать задачи по математике?

Решая задачу о блинчиках мы увидим, что:

• сложными могут оказаться и простые с виду задачи.

• Учить ребенка думать можно и нужно на примере простых задач. Если же с первых классов школы задурить ему мозги, то думать он не научится никогда. Но обнаружится это в классе 6-7. Слишком поздно.

Статья будет длинная и нудная. Она

может быть интересна исключительно родителям, желающим научить собственного ребенка понимать математику. Научить думать.

Простоe и сложное

Чем проще принцип, тем сложнее его доказательство и длиннее объяснение
собственные наблюдения

К примеру, большая теорема Ферма.

Хn + Yn = Zn

Теорема простая, понять ее способен даже ученик начальной школы. А вот доказать её удалось лишь спустя три столетия, в 1994 г. Говорят и сейчас не более двухсот математиков в мире понимают это доказательство. Я в их число не вхожу grin

Как(не)научить понимать: "Принцип короткого замыкания"

Главный принцип (не)успешного обучения, который я обнаружил - "принцип короткого замыкания":

Понимание не возникает из простоты, оно возникает из сложности. Простота и понимание возникают в процессе и являются результатом обучения . И категорически запрещено укорачивать этот путь!

Именно на этом пункте и спотыкается традиционная школа.


«Игровой подход», как ласково они это называют, цветные картинки, два притопа – три прихлопа … Это НЕ обучение, а его имитация. (Я уже писал о «самолетопоклонниках» Ричарда Фейнмана в книге «Школа понимания».)

«Ах, как все просто и понятно!»

«Ах, как понятно объясняет учительница! Дети все схватывают с первого раза!» Только вот беда: со второго раза, когда встречается чуть видоизмененная задача, путаются и заявляют, что «Они этого не проходили!».mad Что является абсолютной правдой. И «заслуженному учителю» вновь приходится «в игровой форме» исполнять танец с бубном около «интерактивной доски».

Но и танцевать большинство школьных учителей мастера не великие. Им бы лучше в хор: орать на детей они умеют громко, эмоционально, с душой …

Да, ирония злая. Но большинством школьных функционеров, маскирующихся под Учителей, вполне заслуженная.

На выходе «игрового подхода» к 9-11 классам мы имеем ужасающую статистику непонимания математики, равно, как и других предметов.

Если уже известный ответ задачи, готовое "решение" препарировать, разложить на составляющие, «понятно объяснить», то, естественно, ребенок запомнит «решения» десятка задач. И, также естественно, не научится их решать.

Объяснить готовый ответ и решить задачу – две гигантские разницы!

«Главное — возбудить аппетит и чувства: иначе воспитаете осла, нагруженного книгами …»
Монтень

Кто должен учить?

Основам науки должен учить тот, кто сам эти основы понимает.

Научить думать сможет только тот, кто умеет думать сам.

В начальной же школе работают … ну, вы сами это знаете.

Почему-то считается, что основам математики может научить кто угодно, даже педагог, который сам не умеет решать простейших задач. Но почему-то потом, в старших классах дети массово отказываются понимать математику и что-либо вообще.

Итак,

Задача о блинчиках

«Мама жарит блинчики с творогом. Каждый блинчик она обжаривает с двух сторон: 2 минуты с одной и 1 минуту с другой. На сковороду одновременно умещаются 4 блинчика. Вопрос: за какое минимальное время мама обжарит 7 блинчиков?»

…Поместите эту задачу в раздел самых сложных задач профильного ЕГЭ и процентов 80 выпускников с ней не справятся и/или потеряют неоправданно много времени. Ожидание «подвоха» не позволит выпускникам, чьё математическое мышление за 11 лет так и не было развито, найти верное решение. Смутное чувство интуиции заставит их сомневаться, перебирать варианты в поисках «красивого» ответа...

Решение задачи

Задачи в начальной школе простые, даже примитивные. Ответ получается методом перебора плюс немного здравого смысла и чуть-чуть воображения…

…Сначала мама обжаривает 4 блинчика за 3 минуты ( 2+1=3).

Затем оставшиеся 3 блинчика (7 - 4 = 3), тоже за 3 минуты.

Итого 6 минут. Вроде все верно?

Но:

Как доказать, что решение верное? Не может же ответ быть настолько простым! Прямо как теорема Ферма ...cheese

• И как решить эту же задачу, если мама – директор «блинной фабрики» и за день обжаривает N блинчиков?

Оставим в покое маму – фабриканта и вернемся к условию.

Анализ решения задачи

Сразу бросается в глаза неэффективность использования сковороды. Как-то некрасиво, не по-школьному получается. Незрелый ум школьника замечает: КПД сковороды слишком низкий, одно место при второй обжарке пустует. Сковорода греет воздух, а масло горит …. Можно ли как-нибудь использовать одно свободное место во втором цикле обжарки?

Разумный вопрос: его следует задать и поискать ответ.

Метод перебора

Перебор вариантов это метод. Но не столько метод решения, сколько метод оценки данных, используя который иногда можно нащупать решение.
Но нащупать - не значит доказать, что оно верное.

И сомневающийся школьник продолжает в поисках правильного ответа перебирать варианты … То есть действует методически неверно.

«Предположим, что …» - метод

Предположим, что для обжарки требовалось бы три «неделимых» минуты - блинчики обжаривались бы за один раз с одной стороны. Решение оказалось бы настолько тривиальным, что и решать тогда было бы нечего!

Но в условии сказано: блины переворачивают!

Поэтому количество вариантов возрастает и школьник судорожно ищет «что в какую формулу вставить, и что на что разделить» (по ироничному наблюдению за отличниками академика В.И.Арнольда, одного из крупнейших математиков ХХ века). Смутное чувство интуиции шепчет: здесь что-то не так, не все так просто. Человек бессистемно перебирает варианты, пока не доходит до «перестановок из N по M». Но и комбинаторика в младшешкольной задаче выигрыша во времени не дает cheese...

Человеку кажется: он что-то упустил и судорожные эксперименты с перекладыванием блинов, попытки вспомнить «похожие» задачи и «волшебные» формулы продолжаются. Пока уставший от непродуктивной механической деятельности ум не ошибется и не «нащупает красивый ответ»: 5 минут.


Именно такое «решение» получила учительница начальных классов в школе, которую посещал мой сын. Он тогда поспорил с учительницей, но она настаивала: «Все-таки здесь получается скомбинировать! Сейчас не помню как именно, но точно – получается!». Задачу она дала на уроке «Умники и умницы», поэтому нашлась еще пара «Умников», поддержавших «красивое» решение.

Это вообще не шутка.

«Ум человеческий склонен верить непонятному»
Тацит

Математическая логика и интуиция

Неразвитое мышление активизирует «интуицию». Но ум человеческий не приспособлен адекватно воспринимать мир цифр. Это, кстати, научно подтвержденный факт.

Например: как вы думаете, сколькими способами можно разложить колоду всего лишь из 52 карт? Правильный ответ шокирует: неужели мы способны НАСТОЛЬКО ошибаться?!

Чтобы шок состоялся, прикиньте ответ, а потом посчитайте на калькуляторе факториал 52. Пожалуй, это больше, чем количество атомов в известной Вселенной ...

… Без специальной подготовки ум человеческий воспринимает мир цифровой СЛИШКОМ уж несовершенно. Поэтому и возникает «смутное чувство интуиции».

Решение задачи о 6 блинчиках

Предположим, что теперь мама обжаривает только 6 блинчиков. Можно ли теперь уложиться в 5 минут?

Решение.

  • 2 минуты жарим 4 блинчика.
  • Потом 2 блинчика переворачиваем и продолжаем обжаривать еще 1 минуту.
  • А два других временно откладываем в сторону.
  • На освободившееся место помещаем оставшиеся 2 сырых блина.
  • Через 1 минуту убираем со сковороды 2 полностью готовых блинчика.
  • На освободившемся месте в течение 1 минуты дожариваем временно отложенные блины.
  • Спустя эту минуту – четвертую - имеем 4 полностью обжаренных блинчика и 2 блинчика на сковороде, которые за 2 минуты обжарены с одной стороны.
  • Переворачиваем и дожариваем их еще 1 минуту.
  • Итого: 2 + 1 +1 + 1 = 5 минут.


    Минуту удалось-таки сэкономить!

    Хотя и тут разбазаривание ресурсов налицо: последнюю минуту на сковороде было только 2 блина … grin. Как говорится, абсолюты в реальном мире недостижимы, считай – не считай …

    Арифметика или геометрия? Визуализация VS абстрагирования

    Сложно было следить за текстовым изложением решения, не правда ли? А теперь представьте, каково это детям!..shock Не проще ли изобразить процесс решения графически? Попросту – нарисовать?!

    Решение задачи о блинчиках

    ... Детям исключительно полезно решать задачи подобным образом.

    С помощью рисунков они приучаются думать (а не запоминать типовые «решения»). Оперирование образами формирует связное, логическое мышление, они узнают, что такое понимание.

    Но вряд ли хотя бы 0,1% учителей математики представляет, как работает ум и что в нем происходит во время решения математической задачи! В МПГУ этому не учат.

    Родителю – на заметку: всемирно известный академик В.И Арнольд славился доходчивым стилем преподавания и геометрическим подходом к традиционным разделам математики. А также жесткой критикой попыток американцев и, особенно, французов излагать математику на излишне высоком уровне абстракции. "Это великий-то математик?,- удивитесь вы,- "Представитель самой абстрактной из всех наук?!"

    Вот именно.

    Доказательство очевидного: «правильный ответ» задачи

    Как узнать, верен ли полученный ответ? Проверка решения это составная часть решения, не менее важная, чем само решение.

    Как доказать, что за 5 минут 7 блинчиков обжарить нельзя, а 6 - можно?..

    Дроби появляются незаметно …

  • На сковороде умещается 4 блинчика.
  • Для обжарки одного блинчика требуется 3 минуты.
  • За 3 минуты сковорода при полной загрузке обжарит 4 блинчика.
  • Следовательно, за 1 минуту сковорода обжарит 4 : 3 = 4/3 блина. Это ее максимальная производительность, максимальное количество блинчиков, которые можно обжарить за 1 минуту.
  • Как максимальная скорость автомобиля: не обязательно «выживмать» все, можно двигаться и медленнее. Но быстрее - невозможно.

  • За 5 минут, следовательно, сковорода обжарит 5 * 4/3 = 20/3, что несколько меньше 7. Несколько, потому, что это способен понять и третьеклассник, выучивший таблицу умножения.
  • Хотя для такой оценки и требуется понимание дробей, но не очень глубокое.

    Дроби, кстати - раздел арифметики, в котором массово «плавает» большинство школьников на ЕГЭ (???). Поэтому, насколько это задача для 3 класса … зависит от способа ее подачи и квалификации «подающего» блинчики к столу решающих задачу smile

    Итак:

    при полной загрузке сковороды для обжарки 7 блинчиков требуется больше 5 минут. Не надо больше мучиться и «комбинировать».

    А вот для 6 блинчиков можно варианты и поискать.

    Задача о блинной фабрике

    А что насчет мамы – блинного капиталиста? Если ребенок уяснил метод решения, то теперь ему не составит труда масштабировать решение на любые количества. Но скажите: разве это было очевидно до того, как мы прошли весь этот довольно сложный путь?!



    Единственный способ научить ребенка решать задачи это научиться решать их самому. Не так уж и сложно взрослому и заинтересованному человеку научиться решать задачи младшей школы, не так ли? cheese Было бы желание. А если желание отсутствует у наиболее заинтересованных в ребенке людей ... тогда дело швах. Сегодня рассчитывать на школу, также, как на репетиторов - абсолютно дохлое дело.

    Вернитесь к началу статьи и представьте, что все это происходило в классе. Получилось? А потом представьте, то же самое в присутствии репетитора и ответьте себе на два вопроса:

  • Где найти такого репетитора?
  • Во сколько обойдутся его услуги, даже если вы его найдете?

  • «Соображайте, мужчина!», - как четверть века назад строго заметила мне смотрительница около турникета метро на «Комсомольской», когда я по ошибке сунулся не в те ворота.

    Если Вам понравилось - напишите, что Вы думаете об этом ...

    Вы можете войти под своим логином или зарегистрироваться на сайте.