Виктор Буторов: инстинкт понимания
Это не школа. Это образование
Люди — это малые боги.
Г. Лейбниц

Метод Гаусса или почему дети не понимают математику

/ Просмотров: 4996
Метод Гаусса или почему дети не понимают математику

Карл Фридрих Гаусс, величайший математик долгое время колебался, выбирая между философией и математикой. Возможно, именно такой склад ума позволил ему столь заметно "наследить" в мировой науке. В частности, создав "Метод Гаусса" ...


... Почти 4 года статьи этого сайта касались школьного образования, в основном, со стороны философии, принципов (не)понимания, внедряемых в сознание детей. Приходит время бОльшей конкретики, примеров и методов ... Я верю, что именно такой подход к привычным, запутанным и важным областям жизни дает лучшие результаты.

... Мы, люди так устроены, что сколько ни говори об абстрактном мышлении, но понимание всегда происходит через примеры. Если примеры отсутствуют, то принципы уловить невозможно ... Как невозможно оказаться на вершине горы иначе, как пройдя весь ее склон от подножия.


Тоже и со школой: пока живых историй недостаточно мы инстинктивно продолжаем считать ее местом, где детей учат понимать.

Например, обучая методу Гаусса ...

Метод Гаусса в 5 классе школы

Оговорюсь сразу: метод Гаусса имеет гораздо более широкое применение, например, при решении систем линейных уравнений. То, о чем мы будем говорить, проходят в 5 классе. Это начала, уяснив которые, гораздо легче разобраться в более "продвинутых вариантах". В этой статье мы говорим о методе (способе) Гаусса при нахождении суммы ряда

Вот пример, который принес из школы мой младший сын, посещающий 5 класс московской гимназии.

Школьная демонстрация метода Гаусса

... Учитель математики с использованием интерактивной доски (современные методы обучения smile ) показал детям презентацию истории "создания метода" маленьким Гауссом.

... Школьный учитель выпорол маленького Карла ohh (устаревший метод, нынче в школах не применяется) за то, что тот,

вместо того, чтобы последовательно складывая числа от 1 до 100 найти их сумму заметил, что пары чисел, равно отстоящие от краев арифметической прогрессии, в сумме дают одно и то же число. например, 100 и 1, 99 и 2. Посчитав количество таких пар, маленький Гаусс почти моментально решил предложенную учителем задачу. За что и был подвергнут экзекуции на глазах изумленной публики. Чтобы остальным думать было неповадно.
Что сделал маленький Гаусс, развивший чувство числа? Заметил некоторую особенность числового ряда с постоянным шагом (арифметической прогрессии). И именно это сделало его впоследствии великим ученым, умеющим замечать, обладающим чувством, инстинктом понимания.

... Этим и ценна математика, развивающая способность видеть общее в частном - абстрактное мышление. Поэтому большинство родителей и работодателей инстинктивно считают математику важной дисциплиной ...

"Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
М.В.Ломоносов".

Однако, последователи тех, кто порол розгами будущих гениев, превратили Метод в нечто противоположное. Как 35 лет назад говорил мой научный руководитель: "Занаучили вопрос". Или как сказал вчера о методе Гаусса мой младший сын: "Может не стоит из этого большую науку делать-то, а?"

Последствия творчества "ученых" видны по уровню нынешней школьной математики, уровню ее преподавания и понимания "Царицы наук" большинством.

Однако, продолжим ...

Методы объяснения метода Гаусса в 5 классе школы

Учитель математики московской гимназии, объясняя метод Гаусса по-Виленкину, усложнил задание.

Что, если разность (шаг) арифметической прогрессии будет не единица, а другое число? Например, 20.

Задача, которую он дал пятиклассникам:

посчитать сумму ряда чисел:


20+40+60+80+ ... +460+480+500

Прежде, чем познакомиться с гимназическим методом, заглянем в Сеть: как это делают школьные учителя - репетиторы по математике?..

Метод Гаусса: объяснение №1

Известный репетитор на своем канале YOUTUBE приводит следующие рассуждения:

"запишем числа от 1 до 100 следующим образом:

сначала ряд чисел от 1 до 50, а строго под ним другой ряд чисел от 50 до 100, но в обратной последовательности"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Обратите внимание: сумма каждой пары чисел из верхнего и нижнего рядов одинакова и равняется 101 ! Посчитаем количество пар, оно составляет 50 и умножим сумму одной пары на количество пар! Вуаля: Ответ готов!".

"Если вы не смогли понять - не расстраивайтесь!", - три раза в процессе объяснения повторил учитель. "Этот метод вы будете проходить в 9 классе!"

Метод Гаусса: объяснение №2

Другой репетитор, менее известный (судя по числу просмотров) использует более научный подход, предлагая алгоритм решения из 5 пунктов, которые необходимо выполнить последовательно.

Для непосвященных: 5 это одно из чисел Фибоначчи, традиционно считающееся магическим. Метод из 5 шагов всегда более научен, чем метод, например, из 6 шагов. grin ... И это вряд ли случайность, скорее всего, Автор - скрытый приверженец теории Фибоначчи

Дана арифметическая прогрессия: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256.

Алгоритм нахождения суммы чисел ряда методом Гаусса:


  • Шаг 1: переписать заданную последовательность чисел наоборот, точно под первой.
  • 4, 10, 16 ... 244, 250, 256

    256, 250, 244 ... 16, 10, 4

  • Шаг 2: посчитать суммы пар чисел, расположенных в вертикальных рядах: 260.
  • Шаг 3: посчитать, сколько таких пар в числовом ряду. Для этого вычесть из максимального числа числового ряда минимальное и разделить на величину шага: (256 - 4) / 6 = 42.
  • При этом нужно помнить о правиле "Плюс один": к полученному частному необходимо прибавить единицу: иначе мы получим результат, меньший на единицу, чем истинное число пар: 42 + 1 = 43.

  • Шаг 4: умножить сумму одной пары чисел на количество пар: 260 х 43 = 11 180
  • Шаг5: поскольку мы посчитали сумму пар чисел, то полученную сумму следует разделить на два: 11 180 / 2 = 5590.
  • Это и есть искомая сумма арифметической прогрессии от 4 до 256 с разницей 6 !

    Метод Гаусса: объяснение в 5 классе московской гимназии

    А вот как требовалось решить задачу нахождения суммы ряда:

    20+40+60+ ... +460+480+500

    в 5 классе московской гимназии, учебник Виленкина (со слов моего сына).

    ... Показав презентацию, учительница математики показала пару примеров по методу Гаусса и дала классу задачу по нахождению суммы чисел ряда с шагом 20.

    При этом требовалось следующее:

  • Шаг 1: обязательно записать в тетради все числа ряда от 20 до 500 (с шагом 20).
  • Шаг 2: записать последовательно слагаемые - пары чисел: первого с последним, второго с предпоследним и т.д. и посчитать их суммы.
  • Шаг 3: посчитать "сумму сумм" и найти сумму всего ряда.
  • Как видим, это более компактная и эффективная методика: число 3 - также член последовательности Фибоначчи grin

    Метод Гаусса, школьная практика применения

    Мои комментарии к школьной версии метода Гаусса

    Великий математик определенно выбрал бы философию, если бы предвидел, во что превратят его "метод" последователи немецкого учителя, выпоровшего Карла розгами. Он узрел бы и символизм, и диалектическую спираль и неумирающую глупость "учителей", пытающихся измерить алгеброй непонимания гармонию живой математической мысли ....

    Между прочим: знаете ли вы. что наша система образования уходит корнями в немецкую школу 18 - 19 веков?

    Но Гаусс выбрал математику.

    В чем суть его метода?

    В упрощении. В наблюдении и схватывании простых закономерностей чисел. В превращении сухой школьной арифметики в интересное и увлекательное занятие, активизирующее в мозге желание продолжать, а не блокирующее высокозатратную умственную деятельность.
    Разве возможно одной из приведенных "модификаций метода" Гаусса посчитать сумму чисел арифметической прогрессии почти моментально? По "алгоритмам" маленький Карл гарантированно избежал бы порки, wink воспитал отвращение к математике и подавил на корню свои творческие импульсы.

    Почему репетитор так настойчиво советовал пятиклассникам "не бояться непонимания" метода, убеждая, что "такие" задачи они будут решать аж в 9 классе? Психологически безграмотное действие. Удачным приемом было отметить: "Видите? Вы уже в 5 классе можете решать задачи, которые будете проходить только через 4 года! Какие вы молодцы!".

    Для использования метода Гаусса достаточно уровня 3 класса, когда нормальные дети уже умеют складывать, умножать и делить 2 -3 значные числа. Проблемы возникают из-за неспособности взрослых учителей, "не въезжающих", как объяснить простейшие вещи нормальным человеческим языком, не то что математическим ... Не способных заинтересовать математикой и напрочь отбивающих охоту даже у "способных".

    ... Или, как прокомментировал мой сын: "делающих из этого большую науку".wink

  • Как (в общем случае) узнать, на каком именно числе следует "развернуть" запись чисел в методе № 1?
  • Что делать, если количество членов ряда окажется нечетным?
  • Зачем превращать в "Правило плюс 1" то, что ребенок мог просто усвоить еще в первом классе, если бы развивал "чувство числа", а не запоминал "счет через десяток"?
  • И, наконец: куда исчез НОЛЬ, гениальное изобретение, которому более 2 000 лет и которым современные учителя математики избегают пользоваться?!.
  • Метод Гаусса, мои объяснения

    Нашему ребенку мы с супругой объясняли этот "метод", кажется, еще до школы ...

    Простота вместо усложнения или игра в вопросы - ответы

    ""Посмотри, вот числа от 1 до 100. Что ты видишь?"

    Дело не в том, что именно увидит ребенок. Фокус в том, чтобы он стал смотреть.

    "Как можно их сложить?" Сын уловил, что такие вопросы не задаются "просто так" и нужно взглянуть на вопрос "как-то по-другому, иначе, чем он делает обычно"

    Не важно, увидит ли ребенок решение сразу, это маловероятно. Важно, чтобы он перестал бояться смотреть, или как я говорю: "шевелил задачу". Это начало пути к пониманию

    "Что легче: сложить, например, 5 и 6 или 5 и 95?" Наводящий вопрос ... Но ведь любое обучение и сводится к "наведению" человека на "ответ" - любым приемлемым для него способом.

    На этом этапе уже могут возникнуть догадки о том, как "сэкономить" на вычислениях.

    Все, что мы сделали - намекнули: "лобовой, линейный" метод счета - не единственно возможный. Если ребенок это усек, то впоследствии он выдумает еще много таких методов, ведь это интересно!!! И он точно избежит "непонимания" математики, не будет испытывать к ней отвращение. Он получил победу!

    Если ребенок обнаружил, что сложение пар чисел, дающих в сумме сотню, плевое занятие, то "арифметическая прогрессия с разницей 1" - довольно муторная и неинтересная для ребенка вещь - вдруг для него обрела жизнь. Из хаоса возник порядок, а это всегда вызывает энтузиазм: так мы устроены!

    Вопрос на засыпку: зачем после полученного ребенком озарения вновь загонять его в рамки сухих алгоритмов, к тому же функционально бесполезных в этом случае?!

    Зачем заставлять тупо переписывать числа последовательности в тетрадь: чтобы даже у способных не возникло и единого шанса на понимание? Статистически, конечно, а ведь массовое образование заточено на "статистику" ...

    Куда делся ноль?

    И все-таки складывать числа, дающие в сумме 100 для ума гораздо более приемлемо, чем дающие 101 ...

    "Школьный метод Гаусса" требует именно этого: бездумно складывать равноотстоящие от центра прогрессии пары чисел, несмотря ни на что.

    А если посмотреть?

    Все-таки ноль - величайшее изобретение человечества, которому более 2 000 лет. А учителя математики продолжают его игнорировать. grin

    Гораздо проще преобразовать ряд чисел, начинающийся с 1, в ряд, начинающийся с 0. Сумма ведь не изменится, не правда ли? Нужно перестать "думать учебниками" и начать смотреть ... И увидеть, что пары с суммой 101 вполне можно заменить парами с суммой 100 !
    0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

    Как упразднить "правило плюс 1"?

    Если честно, то я о таком правиле впервые услышал от того ютубовского репетитора ... LOL

    Как я до сих пор поступаю, когда требуется определить количество членов какого-нибудь ряда?

    Упрощаю.

    Смотрю на последовательность:

    1, 2, 3, .. 8, 9, 10

    а когда совсем устал, то на более простой ряд:

    1, 2, 3, 4, 5

    и прикидываю: если вычесть из 5 единицу, то получится 4, но я совершенно ясно вижу 5 чисел! Следовательно, cool smile нужно прибавить единицу! Чувство числа, развитое в начальной школе, подсказывает: даже если членов ряда будет целый гугл (10 в сотой степени), закономерность останется той же. smile

    На фиг правила?..

    Чтобы через пару - тройку лет заполнить все пространство между лбом и затылком и перестать соображать? А зарабатывать на хлеб с маслом как? Ведь мы ровными шеренгами движемся в эпоху цифровой экономики!

    Еще о школьном методе Гаусса: "зачем науку-то из этого делать?.."

    Я не зря разместил скриншот из тетрадки сына...

    Метод Гаусса в гимназии

    "Что там было, на уроке?"

    "Ну, я сосчитал сразу, поднял руку, но она не спросила. Поэтому, пока остальные считали я стал делать ДЗ по русскому языку, чтобы не тратить время. Потом, когда остальные дописали (???), она вызвала меня к доске. Я сказал ответ."

    "Правильно, покажи, как ты решал", - сказала учительница. Я показал. Она сказала: "Неправильно, нужно считать так, как я показала!"

    "Хорошо, что двойку не поставила. И заставила написать в тетради "ход решения" по-ихнему. Зачем науку-то большую из этого делать?.."

    Главное преступление учителя математики

    Вряд ли после того случая Карл Гаусс испытал высокое чувство уважения по отношению к школьному учителю математики. Но если бы он знал, как последователи того учителя извратят самую суть метода ... он взревел бы от негодования и через Всемирную организацию интеллектуальной собственности ВОИС добился запрета на использование своего честного имени в школьных учебниках!..


    В чем главная ошибка школьного подхода? Или, как я выразился - преступление школьных учителей математики против детей?


    Алгоритм непонимания

    Что делают школьные методисты, абсолютное большинство которых думать не умеет ни фига?

    Создают методики и алгоритмы (см. статью об этом). Это защитная реакция, предохраняющая учителей от критики ("Все делается согласно ..."), а детей - от понимания. И таким образом - от желания критиковать учителей! (Вторая производная чиновничьей "мудрости", научный подход к проблеме cheese ). Человек не улавливая смысл скорее будет пенять на собственное непонимание, а не на тупость школьной системы.

    Что и происходит: родители пеняют на детей, а учителя ... то же на детей, "не понимающих математику!..

    Смекаете?

    Что сделал маленький Карл?

    Абсолютно нешаблонно подошел к шаблонной задаче. Это квинтэссенция Его подхода. Это главное, чему следует учить в школе: думать не учебниками, а головой. Конечно, есть и инструментальная составляющая, которую вполне можно использовать ... в поисках более простых и эффективных методов счета.

    Метод Гаусса по-Виленкину

    В школе учат, что метод Гаусса состоит в том, чтобы

  • попарно находить суммы чисел, равноотстоящих от краев числового ряда, непременно начиная с краев!
  • находить число таких пар и т.д.
  • Но:

    что, если число элементов ряда окажется нечетным, как в задаче, которую задали сыну?..

    "Подвох" состоит в том, что в этом случае следует обнаружить "лишнее" число ряда и прибавить его к сумме пар. В нашем примере это число 260.

    Как обнаружить? Переписывая все пары чисел в тетрадь! (Именно почему учительница заставила детей делать эту тупую работу, пытаясь научить "творчеству" методом Гаусса ... И именно поэтому такой "метод" практически неприменим к большим рядам данных, И именно поэтому он не является методом Гаусса).

    Немного творчества в школьной рутине ...

    Сын же поступил иначе.

  • Сначала он отметил, что умножать легче число 500, а не 520
  • (20 + 500, 40 + 480 ...).

  • Потом он прикинул: количество шагов оказалось нечетным: 500 / 20 = 25.
  • Тогда он в начало ряда добавил НОЛЬ (хотя можно было и отбросить последний член ряда, что также обеспечило бы четность) и сложил числа, дающие в сумме 500 grin
  • 0+500, 20+480, 40+460 ...
  • 26 шагов это 13 пар "пятисоток": 13 х 500 = 6500..
  • Если мы отбросили последний член ряда, то пар будет 12, но к результату вычислений следует не забыть прибавить "отброшенную" пятисотку. Тогда: (12 х 500) + 500 = 6500 !

  • Несложно, правда?

    А практически делается еще легче, что и позволяет выкроить 2-3 минуты на ДЗ по русскому, пока остальные "считают". К тому же сохраняет количество шагов методики: 5, что не позволяет критиковать подход за антинаучность.

    Явно этот подход проще, быстрее и универсальнее, в стиле Метода. Но ... учительница не то, что не похвалила, но и заставила переписать "правильным образом" (см. скриншот). То есть предприняла отчаянную попытку задушить творческий импульс и способность понимать математику на корню! Видимо, чтобы потом наняться репетитором ... smile Не на того напала ...cool smirk



    Все, что я так долго и нудно описал можно объяснить нормальному ребенку максимум за полчаса. Вместе с примерами.

    Причем так, что он это никогда не забудет.

    И это будет шаг к пониманию ... не только математики.


    Признайтесь: сколько раз в жизни вы складывали методом Гаусса? cheese И я ни разу!

    Но инстинкт понимания, который развивается (или гасится) в процессе изучения математических методов в школе ... О!.. Это поистине незаменимая вещь!

    Особенно в век всеобщей цифровизации, в который мы незаметно вошли под чутким руководством Партии и Правительства.


    Несколько слов в защиту учителей ...

    Несправедливо и неправильно всю ответственность за такой стиль обучения сваливать исключительно на школьных учителей. Действует система.

    Некоторые учителя понимают абсурдность происходящего, но что делать? Закон об образовании, ФГОСы, методики, технологические карты уроков ... Все должно делаться "в соответствии и на основании" и все должно быть задокументировано. Шаг в сторону - встал в очередь на увольнение. Не будем ханжами: зарплата московских учителей ну очень неплохая ... Уволят - куда идти?..

    Поэтому сайт этот не об образовании. Он об индивидуальном образовании, единственно возможном способе выбраться из толпы поколения Z ...

    Комментариев: 1 RSS
    Если Вам понравилось - напишите, что Вы думаете об этом ...

    Вы можете войти под своим логином или зарегистрироваться на сайте.